极限评估的温和介绍

函数极限的概念可以追溯到欧多克索斯和阿基米德等希腊学者。虽然他们从未正式定义极限，但他们的许多计算都基于这一概念。艾萨克·牛顿正式定义了极限的概念，柯西完善了这一思想。极限构成了微积分的基础，而微积分又定义了许多机器学习算法的基础。因此，理解如何评估不同类型函数的极限至关重要。

在本教程中，您将学习如何评估不同类型函数的极限。

完成本教程后，您将了解：

• 评估极限的不同规则
• 如何评估多项式和有理函数的极限
• 如何评估具有不连续点的函数的极限
• 夹逼定理

让我们开始吧。

极限和连续性的温和入门 Mehreen Saeed 摄，部分权利保留。

教程概述

本教程分为3个部分；它们是

1. 极限规则
   1. 使用极限规则评估极限的示例
   2. 多项式的极限
   3. 有理表达式的极限
2. 具有不连续点的函数的极限
3. 夹逼定理

极限规则

如果我们知道一些简单的原则，评估极限就很容易，这些原则如下所列。所有这些规则都基于当 x 趋近于点 k 时，两个函数 f(x) 和 g(x) 的已知极限。

评估极限的规则

使用规则评估极限的示例

使用简单规则评估极限的示例

以下是一些使用基本规则评估极限的示例。请注意，这些规则适用于当 x 趋近于某一点时，在该点上定义的函数。

多项式的极限

示例 1 和 2 均为多项式。从极限规则中可以看出，对于任何多项式，当 x 趋近于点 k 时，多项式的极限等于该多项式在 k 处的值。可以写为：

因此，我们可以通过直接代入来评估多项式的极限，例如：

lim(x→1) x^4+3x^3+2 = 1^4+3(1)^3+2 = 6

有理函数的极限

对于涉及分数的有理函数，有两种情况。一种情况是当 x 趋近于某一点且函数在该点有定义时评估极限。另一种情况是当 x 趋近于某一点且函数在该点没有定义时计算极限。

情况 1：函数有定义

与多项式的情况类似，当我们有一个函数，它是 f(x)/g(x) 形式的有理表达式，并且在某一点分母不为零时，则：

lim(x→k) f(x)/g(x) = f(k)/g(k) 如果 g(k)≠0

因此，我们可以通过直接代入来评估这个极限。例如：

lim(x→0)(x^2+1)/(x-1) = -1

在这里，我们可以应用商规则，或者更简单地，代入 x=0 来评估极限。然而，当 x 趋近于 1 时，这个函数没有极限。请看下图中的第一个图。

情况 2：函数未定义

我们来看另一个例子

lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)

在 x=2 处，我们遇到了一个问题。分母为零，因此函数在 x=2 处未定义。从图中可以看出，该函数和 (x+2) 的图是相同的，除了在 x=2 处有一个“空心点”。在这种情况下，我们可以消去公因子，然后仍然可以评估 (x→2) 的极限，如下所示：

lim(x→2)(x^2-4)/(x-2) = lim(x→2)(x-2)(x+2)/(x-2) = lim(x→2)(x+2) = 4

下图展示了上面两个例子以及第三个类似的 g_3(x) 例子

计算有理函数极限的例子

具有不连续点的函数的情况

假设我们有一个函数 h(x)，它对所有实数都有定义

h(x) = (x^2+x)/x,  如果 x≠0

h(x) = 0, 如果 x=0

函数 g(x) 在 x=0 处有一个不连续点，如下图所示。当计算 lim(x→0)h(x) 时，我们必须观察当 x 接近 0 时（而不是当 x=0 时）h(x) 的变化。当我们从两侧接近 x=0 时，h(x) 接近 1，因此 lim(x→0)h(x)=1。

下图中的函数 m(x) 是另一个有趣的例子。这个函数也对所有实数都有定义，但是当 x→0 时，极限不存在。

存在不连续点时评估极限

夹逼定理

这个定理也称为夹逼定理或两边夹定理。它指出，当以下条件为真时：

1. x 接近 k
2. f(x) <= g(x) <= h(x)
3. lim(x→k)f(x) = lim(x→k)h(x) = L

那么当 x 趋近于 k 时，g(x) 的极限为

lim(x→k)g(x) = L

夹逼定理

这个定理如下图所示

利用这个定理，我们可以评估许多复杂函数的极限。一个著名的例子涉及正弦函数

lim(x→0)x^2sin(1/x)

使用夹逼定理计算极限

我们知道 sin(x) 总是介于 -1 和 +1 之间。利用这个事实，我们可以如下所示解出这个极限

扩展

本节列出了一些您可能希望探索的扩展本教程的想法。

• 洛必达法则和不定形式（需要函数导数）
• 用函数极限定义的函数导数
• 函数积分

如果您探索了这些扩展内容中的任何一个，我很想知道。请在下面的评论中发布您的发现。

进一步阅读

学习和理解数学的最佳方法是通过练习和解决更多问题。如果您想深入了解此主题，本节提供了更多资源。

教程

• 关于极限和连续性的教程
• 关于机器学习微积分书籍的额外资源

书籍

• 托马斯微积分，第 14 版，2017 年。（基于 George B. Thomas 的原创作品，由 Joel Hass、Christopher Heil、Maurice Weir 修订）
• 《微积分》，第3版，2017年。（Gilbert Strang）
• 微积分，第 8 版，2015 年。（James Stewart）

总结

在本教程中，您学习了如何评估不同类型函数的极限。

具体来说，你学到了：

• 评估不同函数极限的规则。
• 评估多项式和有理函数的极限
• 评估函数存在不连续点时的极限

您有任何问题吗？请在下面的评论中提问，我将尽力回答。祝您学习微积分愉快！

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