不定形式与洛必达法则入门指南

在评估函数极限时，我们经常会遇到不定形式，而极限在数学和微积分中起着重要的作用。它们对于学习导数、梯度、Hessian 等概念至关重要。

在本教程中，您将学习如何评估不定形式的极限以及用于求解它们的洛必达法则。

完成本教程后，您将了解：

• 如何评估具有 0/0 和 ∞/∞ 形式的不定类型的函数极限
• 用于评估不定类型的洛必达法则
• 如何转换更复杂的不定类型并将其应用于洛必达法则

让我们开始吧。

不定形式与洛必达法则入门指南 图片由 Mehreen Saeed 提供，保留部分权利。

教程概述

本教程分为两部分；它们是：

1. 0/0 和 ∞/∞ 形式的不定形式
   1. 如何将洛必达法则应用于这些类型
   2. 这两个不定类型的求解示例
2. 更复杂的不定类型
   1. 如何将更复杂的不定类型转换为 0/0 和 ∞/∞ 形式
   2. 此类类型的求解示例

先决条件

本教程需要对以下两个主题有基本了解

• 极限和连续性
• 评估极限

如果您不熟悉这些主题，可以点击上面的链接进行回顾。

什么是“不定形式”？

在评估极限时，我们会遇到一些情况，其中基本极限评估规则可能会失效。例如，对于有理函数，我们可以应用商法则：

lim(x→a) f(x)/g(x) = (lim(x→a)f(x))/(lim(x→a)g(x))          如果 lim(x→a)g(x)≠0

上述规则只有在当 x 趋近于 a 时分母中的表达式不趋近于零时才能应用。当分子和分母都趋近于零时，情况会更复杂。这被称为 0/0 型的不定形式。同样，也有 ∞/∞ 型的不定形式，表示为：

lim(x→a) f(x)/g(x) = (lim(x→a)f(x))/(lim(x→a)g(x)) 当 lim(x→a)f(x)=∞ 且 lim(x→a)g(x)= ∞ 时

什么是洛必达法则？

洛必达法则陈述如下：

洛必达法则

何时应用洛必达法则

需要注意的一个重要点是，洛必达法则仅在满足 f(x) 和 g(x) 的条件时适用。例如：

• lim(????→0) sin(x)/(x+1) 不能应用洛必达法则，因为它不是 0/0 形式
• lim(????→0) sin(x)/x 可以应用该法则，因为它属于 0/0 形式
• lim(????→∞) (e^x)/(1/x+1) 不能应用洛必达法则，因为它不是 ∞/∞ 形式
• lim(????→∞) (e^x)/x 可以应用洛必达法则，因为它属于 ∞/∞ 形式

0/0 和 ∞/∞ 的示例

下面展示了这两种类型的几个示例以及如何求解它们。您也可以参考下图来查看这些函数。

示例 1.1：0/0

求极限 lim(????→2) ln(x-1)/(x-2) （参见图中的左图）

lim(????→2) ln(x-1)/(x-2)=1

示例 1.2：∞/∞

求极限 lim(????→∞) ln(x)/x （参见图中的右图）

lim(????→∞) ln(x)/x=0

示例 1.1 和 1.2 的图

更多不定形式

洛必达法则只告诉我们如何处理 0/0 或 ∞/∞ 形式。然而，还有更多涉及乘积、差和幂的不定形式。那么我们如何处理其余的呢？我们可以利用一些巧妙的数学技巧将乘积、差和幂转换为商。这使得我们能够轻松地将洛必达法则应用于几乎所有不定形式。下表显示了各种不定形式以及如何处理它们。

如何求解更复杂的不定形式

示例

以下示例展示了如何将一种不定形式转换为 0/0 或 ∞/∞ 形式并应用洛必达法则来求解极限。在演算示例后，您还可以查看所有计算了极限的函数的图。

示例 2.1：0·∞

求极限 lim(????→∞) x·sin(1/x) （参见图中的第一个图）

lim(????→∞) x·sin(1/x)=1

示例 2.2：∞-∞

求极限 lim(????→0) 1/(1-cos(x)) – 1/x （参见下图中的第二个图）

lim(????→0) 1/(1-cos(x)) – 1/x =∞

示例 2.3：幂形式

求极限 lim(????→∞) (1+x)^(1/x) （参见下图中的第三个图）

lim(????→∞) (1+x)^(1/x)=1

示例 2.1、2.2 和 2.3 的图

扩展

本节列出了一些您可能希望探索的扩展本教程的想法。

• 柯西中值定理
• 罗尔定理

如果您探索了这些扩展内容中的任何一个，我很想知道。请在下面的评论中发布您的发现。

进一步阅读

如果您想深入了解，本节提供了更多关于该主题的资源。

教程

• 极限和连续性
• 评估极限
• 导数

资源

• 机器学习微积分书籍 的其他资源

书籍

• 《托马斯微积分》，第14版，2017年。（基于 George B. Thomas 的原创作品，由 Joel Hass, Christopher Heil, Maurice Weir修订）
• 微积分，第三版，2017年。（Gilbert Strang）
• 《微积分》，第8版，2015年。（James Stewart）

总结

在本教程中，您学习了不定形式的概念以及如何求解它们。

具体来说，你学到了：

• 0/0 和 ∞/∞ 类型的不定形式
• 求解 0/0 和 ∞/∞ 类型的洛必达法则
• 0·∞、∞-∞ 和幂形式的不定形式，以及如何求解它们。

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